Банк заданий ЕГЭ по математике — это полный каталог заданий от авторов и официальных заданий ФИПИ, где собраны все актуальные упражнения для подготовки. Сохраняй сложные задачи в «Избранном», чтобы возвращаться к ним снова, а в разделе статистики отслеживай свою успеваемость.
Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна 
где m — масса воды в килограммах, 
скорость движения ведeрка в м/с, L — длина верeвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте 
м/с
). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.
Источник: «Сдам ГИА», задание № 27958.
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону 
где 
— начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.
Источник: «Сдам ГИА», задание № 27991.
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель — целое число от –2 до 2.
Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид 
Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число A, при котором это условие будет выполняться.
Источник: «Сдам ГИА», задание № 319860.
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта 
Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.
Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид
Каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?
Источник: «Сдам ГИА», задание № 319859.
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием 
см. Расстояние 
от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние 
от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
Источник: «Сдам ГИА», задание № 27970.
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде 
где p (Па) — давление газа, V — объeм газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в два раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?
Источник: «Сдам ГИА», задание № 27992.
Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия — монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой 
Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле 
Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка 
составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Источник: «Сдам ГИА», задание № 27956.
Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле
где 
— средняя оценка, данная экспертами, 
— средняя оценка, данная покупателями, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 24, их средняя оценка равна 0,86, а оценка экспертов равна 0,11.
Источник: «Сдам ГИА», задание № 317097.
Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону 
где t — время с момента начала колебаний, T = 12 с — период колебаний, 
м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле 
где m — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Источник: «Сдам ГИА», задание № 28012.
Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле 
где 
км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. К пляжу ведeт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?
Источник: «Сдам ГИА», задание № 27986.